Programa MSc Foundation em Matemática Aplicada

O Programa Básico do Pré-Mestrado (PMFP) em Matemática Aplicada visa homogeneizar os portfólios de competências dos futuros alunos dos dois Programas de Mestrado em Modelagem Matemática e Engenharia Matemática do University Of L'Aquila , que incluem o programa Erasmus Mundus "InterMaths - Interdisciplinary Mathematics" , o programa de mestrado conjunto "MathMods" e o programa de duplo grau "InterMaths".

Dependendo dos programas de graduação do aluno e do sistema educacional de seu país de origem, os alunos matriculados nesses três programas podem apresentar um conjunto muito diversificado de habilidades nas disciplinas que caracterizam esses programas de mestrado. O PMFP em Matemática Aplicada foi elaborado para abordar essa questão, cobrindo competências específicas em matemática teórica (Análise Real e Álgebra Linear) e programação de computadores. Quanto à matemática teórica, o objetivo principal do PMFP é preencher a lacuna entre o "cálculo" e a "análise real", uma questão típica que surge com frequência para futuros alunos de mestrado com uma formação muito "aplicada".

O PMFM incluirá tópicos muito básicos de análise real, permitindo aos alunos lidar com cálculo infinitesimal com uma perspectiva de "análise real" rigorosa (incluindo o uso de provas matemáticas rigorosas). Por outro lado, os alunos com uma sólida formação "teórica" às vezes carecem de programação básica e habilidades computacionais. Assim, o PMFP fornece uma introdução básica à programação de computadores e em particular ao ambiente computacional "MATLAB", que é amplamente utilizado nos cursos de análise numérica dos programas de mestrado mencionados acima.

Módulos

Parte 1

• Um curso intensivo de álgebra linear

Espaços lineares, dependência linear, bases de um espaço linear, dimensão de um espaço linear, subespaços lineares.

Matrizes, operações básicas com matrizes, mudança de coordenadas, determinantes, posto. Um breve relato sobre sistemas lineares e eliminação de Gauss.

Diagonalização de matrizes quadradas, autovalores, autovetores. Produtos internos, formas bilineares e formas quadráticas.

• Equações diferenciais: fundamentos

Introdução geral às equações diferenciais, problemas de Cauchy.

Existência e exclusividade de soluções. Teoremas de Peano e de Cauchy. Exemplos, o pincel de Peano.

Introdução às equações diferenciais lineares. Exemplos.

Um breve esboço da análise qualitativa dos problemas de Cauchy. Comparação de soluções, soluções máximas, existência global de soluções, explosão de soluções. Exemplos.

• Análise Real: Fundações

Lógica proposicional. Cálculo proposicional.

Conjuntos, operações de conjunto, relações, funções. A cardinalidade de conjuntos, conjuntos contáveis, conjuntos incontáveis. Conjuntos de números elementares. Inteiros e racionais. Princípio de indução.

Mais informações sobre funções: funções injetivas e sobrejetivas, funções invertíveis, imagem e pré-imagem.

O conjunto de números reais. Axioma da separação, cortes de Dedekind. Infimum e supremum. Propriedade arquimediana. Números complexos: forma cartesiana e trigonométrica, propriedades básicas, poderes, raízes complexas, teorema fundamental da álgebra.

Sequências de números reais: sequências monótonas, convergência de uma sequência, subsequências, limsup e liminf de uma sequência, teorema de Bolzano-Weierstrass.

Introdução às funções dos números reais. Funções elementares: função exponencial e logarítmica, funções trigonométricas, funções irracionais. Funções monótonas.

A topologia dos números reais: intervalos, meias-linhas, conjuntos abertos, conjuntos fechados. A topologia do espaço euclidiano Rn: bolas, conjuntos abertos e fechados. Conjuntos compactos no espaço euclidiano.

Parte 2

• Introdução ao MATLAB

O ambiente MATLAB, programação básica de computador, variáveis e constantes, operadores e cálculos simples, fórmulas e funções. Caixas de ferramentas do MATLAB.

Revisão de matriz e álgebra linear, vetores e matrizes em MATLAB, operações de matriz e funções em MATLAB.

Algoritmos e estruturas, scripts e funções MATLAB (arquivos m), algoritmos sequenciais simples, estruturas de controle (se ... então, loops).

Leitura e escrita de dados, manuseio de arquivos, funções personalizadas, funções gráficas MATLAB. Sessões práticas interativas.

• Introdução à programação

Algoritmos, programas e linguagens de programação.

O ambiente de aprendizagem para a linguagem de programação Python e Turtle Graphics. Comandos e sequências de comandos. Escrever e executar um programa.

Iteração definida. Procedimentos: definir e chamar funções Python. Procedimentos com parâmetros.

Variáveis e objetos. Tipos de dados básicos em Python. Expressões.

Seleção, recursão e iteração indefinida.

Estruturas de dados básicas em Python: tuplas, strings, listas, dicionários.